Külli Kiivet lõpetas Eesti Muusika- ja Teatriakadeemia koolimuusika erialal (2006) ja G. Otsa nim Tallinna Muusikakooli klassikalise laulu erialal (2001). Ta on üle-eestilise neidudekoori LEELO peadirigent al 2013. a. Igapäevaselt töötab ta Tallinna Muusika- ja Balletikoolis MUBA, kus ta on hääleseade õpetaja (al 2008) ja MUBA mudilaskoori dirigent (al 2019) ning Rahvusooper Estonia poistekooris koormeistri ja hääleseadjana (al 2022), kes valmistab poisse ette etendusteks.
Küllil on koorijuhi kutsetunnistus tase VII. Ta on Eesti Kooriühingu mentor ning Eesti Naislaulu Seltsi (ENLS) juhatuse liige. Külli osaleb tihti eri žüriides ja on külalisdirigendiks maakondlikel laulupidudel ja -päevadel. Tema laululapsed on saavutanud auhinnalisi kohti nii Eesti kui ka rahvusvahelistel lauluvõistlustel.
Külli Kiivet on korduvalt olnud noorte ja üldlaulupidude nais- ja neidudekooride liigidirigent, aastal 2025 oli ta laulupeo "Iseoma" naiskooride liigijuht. Kooriühing on ta nimetanud aasta nooreks dirigendiks (2009) ja aasta dirigendiks (2017 ja 2022), lisaks mitmed aastapreemiad oma kollektiividega. ENLS on tema koorid valinud kahel korral aasta naiskooriks. Külli on kultuurkapitali rahvakultuuri sihtkapitali koorimuusika aastapreemia laureaat (2021).